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Um dieses Gleichungssystem zu lösen, kann auf eine Vielzahl von Lösungsverfahren (siehe Lösungsverfahren) zurückgegriffen werden.

Beispielhaft wird hier das Additionsverfahren verwendet. Um zunächst die Variable Ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und auch gleich der Anzahl der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar.

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

Ein entsprechendes System für drei Unbekannte sind alle drei Gleichungen erfüllt, es handelt sich um eine Lösung des Systems.

Die Cramersche Regel verwendet Determinanten, um Formeln für die Lösung eines quadratischen linearen Gleichungssystems zu erzeugen, wenn dieses eindeutig lösbar ist.

Für die numerische Berechnung ist sie auf Grund des hohen Rechenaufwands jedoch nicht geeignet.

Auch die reduzierte Stufenform (auch normierte Zeilenstufenform) ist ein Sonderfall der Stufenform.

Bei ihr treten die jeweils ersten Unbekannten jeder Zeile nur ein einziges Mal auf und haben den Koeffizienten Die reduzierte Stufenform eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig: Es gibt also für jedes lineare Gleichungssystem genau eine reduzierte Stufenform.

Ein Gleichungssystem dieser Form kann, wenn die Zeilen oder Spalten linear unabhängig sind, eindeutig gelöst werden (Lösungsverfahren werden weiter unten besprochen).

In der Stufenform (auch Zeilenstufenform, Zeilennormalform, Stufengestalt, Staffelgestalt, Treppenform, Treppenstufenform oder Treppennormalform) verringert sich in jeder Zeile die Zahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt.

Vielfach werden beliebige Gleichungssysteme mittels eines Algorithmus in eine entsprechende Gestalt gebracht, um anschließend eine Lösung zu finden.

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